简介
高数里，函数、极限、连续这三个是基础中的基础，三者是连在一起的：先懂函数，才能学极限，搞懂极限了，才能理解连续。这三个搞不明白，后面的导数、积分根本学不进去。而且我发现，用咱们写代码的思路去理解这些抽象概念，会简单很多！下面我就结合Python代码，把这三个知识点捋清楚，记下来方便自己后续复习，也尽量写得直白，别搞那些花里胡哨的书面话。
函数
函数类似编程中的函数比如：
def f(x): # x 是自变量 ：代表它可以发生变化，比如 x = 5，定义域就是x的取值范围，还要排除算不了的数
res = x**2 + 1 # 通过函数的对应法则，x=5时输出的因变量等于 26，就是5²+1的结果
return res
f(3)
# 因变量输出：10，和数学里算的f(3)=10一模一样，这就是“一个输入对应一个输出”在 $f(x)$ 中的 $x$ 值是自变量，x取值范围就叫做定义域，试想当 $x$ 发生变化比如取任何一个数 $5$，那么通过函数的对应法则 $x ^ 2 + 1$ 进行公式运算后得出 因变量 结果为：$26$。这里要注意，定义域不是随便取的，比如分式分母不能为0、平方根里不能是负数，不然就像编程报错一样，数学里叫“无定义”，x不能取这种数。而且一个x只能对应一个因变量，不能一个x算出两个结果，这是函数的基本规矩，记死就行。
为了加深印象，我再补一个代码例子，重点看定义域和函数的确定性：
def g(x):
# 这个函数是1/x，分式函数，定义域是x≠0，不然报除零错误，数学里无定义
return 1/x
# 测试定义域内的数
print(g(2)) # 输出0.5，一个输入对应一个输出，没问题
# 测试定义域外的数x=0
try:
g(0)
except ZeroDivisionError:
print("x=0不在g(x)的定义域内，算不了") # 报错，对应数学里的“无定义”另外，因变量的取值范围叫值域，比如f(x)=x²+1，不管x取啥实数，结果都≥1，值域就是[1, +∞)，用代码随便测几个x就能验证：
# 验证f(x)=x²+1的值域
test_x = [-3, -2, 0, 1, 4, 10]
for x in test_x:
print(f"f() = {x**2 + 1}") # 输出依次为10、5、1、2、17、101，都≥1总的来说，函数没什么难的，核心就是“一个输入对应一个输出”，用编程的思路理解，就是“一个参数，一段计算代码，一个返回值”。定义域和值域就是x和f(x)的取值范围，记牢定义域要排除无意义的数，后面学极限、连续都会用到。
极限
极限描述的是当自变量趋近某个值时，函数的值趋近于什么
def f(x):
return (x**2 - 1) / (x - 1) # x=1时分母为0，编程报错，数学里无定义，但极限能解决这个问题计算 $\lim_{x \to 1} f(x) = L$，直接代入x=1会导致除零错误，但从极限的角度，可以简化并发现 $x$ 接近 1 时，函数值趋近于 2。这就是函数在 $x=1$ 处的极限。具体来说，把分子因式分解成(x-1)(x+1)，因为x是靠近1不是等于1，x-1不等于0，约掉后就是x+1，x靠近1时，x+1就靠近2。
我用代码模拟x从1的左右两边慢慢靠近，能更直观看到趋势：
def f(x):
return (x**2 - 1) / (x - 1)
# 从左边靠近1，delta越小，x越接近1
print("从左边趋近x=1：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001]:
x = 1 - delta
val = f(x)
print(f"x=，f(x)={val}")
# 输出：x越靠近1，f(x)越靠近2（比如x=0.9→1.9，x=0.99→1.99）
# 从右边靠近1
print("\n从右边趋近x=1：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001]:
x = 1 + delta
val = f(x)
print(f"x=，f(x)={val}")
# 输出：x越靠近1，f(x)越靠近2（比如x=1.1→2.1，x=1.01→2.01）这里补充个知识点：x从左边靠近的极限叫左极限，右边的叫右极限，只有左右极限都存在且相等，这个点的极限才存在（这里都是2，所以极限就是2）。极限不关心x等于某个值的情况，只看趋势，这是它的核心作用，能解决函数无定义但能看趋势的问题。另外极限还有几个好理解的性质：一是唯一的，一个点的极限只有一个值；二是局部有界，极限存在的话，x附近的f(x)不会无限大/小；三是保号，极限是正数，x附近的f(x)也都是正数。
总的来说，极限就是个“看趋势”的工具，搞懂x“靠近”和“等于”的区别，极限就没什么难的了，也是后面学连续的基础。
连续
函数的连续性表示函数在某一点没有间断。
如果函数在某个点的极限值等于该点的函数值，则该函数在此点是连续的
def f(x):
if x == 2:
return 6 # 故意设成6，和极限值5不一样，体现不连续
return x**2 + 1虽然函数在 $x=2$ 处有定义，但由于函数值与极限值不相等，函数在 $x=2$ 处是不连续的。这里要记牢连续的三个条件，少一个都不行：①函数在该点有定义；②极限存在（左右极限都有且相等）；③极限值=函数值。
先验证x=2处的极限和函数值：
# 验证x=2处的极限（趋近2的函数值）
print("x趋近于2时，函数值的变化：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001]:
x1 = 2 - delta # 从左边靠近2
x2 = 2 + delta # 从右边靠近2
print(f"x={x1}时，f(x)={f(x1)}；x={x2}时，f(x)={f(x2)}")
# 输出：x越靠近2，f(x)越靠近5（极限值是5）
# 验证x=2处的函数值
print(f"\nx=2时，f(x)={f(2)}") # 输出6，和极限值5不相等x=2处满足①有定义（f(2)=6）、②极限存在（是5），但③极限值≠函数值，所以不连续，这个点叫“可去间断点”——把x=2的函数值改成5，就连续了：
def continuous_f(x):
if x == 2:
return 5 # 改成和极限值一样的5
return x**2 + 1
# 验证连续性
print(f"x=2处函数值：{continuous_f(2)}") # 5，满足①
print("x趋近于2时的函数值：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001]:
x1 = 2 - delta
x2 = 2 + delta
print(f"x={x1}→{continuous_f(x1)}；x={x2}→{continuous_f(x2)}") # 都趋近5，满足②
print(f"极限值={2**2 + 1}，函数值={continuous_f(2)}") # 都是5，满足③，连续了除了可去间断点，还有两种常见的间断点，记下来方便复习：
1. 跳跃间断点（左右极限都存在但不相等）
def jump_f(x):
if x < 2:
return x + 1 # 左极限=3
else:
return x - 1 # 右极限=1
# 验证左右极限
print("x从左边趋近2：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001]:
x = 2 - delta
print(f"x=，f(x)={jump_f(x)}") # 趋近3
print("\nx从右边趋近2：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001]:
x = 2 + delta
print(f"x=，f(x)={jump_f(x)}") # 趋近1
# 左≠右，极限不存在，不连续2. 无穷间断点（x靠近时f(x)无限大/小）
def infinite_f(x):
return 1 / (x - 2) # x=2无定义，x靠近2时f(x)无限大/小
# 验证
print("x从左边趋近2：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001]:
x = 2 - delta
print(f"x=，f(x)={infinite_f(x)}") # 趋近-∞
print("\nx从右边趋近2：")
for delta in [0.1, 0.01, 0.001]:
x = 2 + delta
print(f"x=，f(x)={infinite_f(x)}") # 趋近+∞
# 极限是无穷大，不存在，不连续最后补个小性质：连续函数的和/差/积/商（分母≠0）、复合函数还是连续的；闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，结合例子很好理解。
总的来说，连续的核心就是“极限值=函数值”，搞懂了极限，连续就很简单，而且连续也是后面学导数、积分的基础，大部分能求导、能积分的函数都是连续的。
用编程例子理解这些抽象概念最实用，把公式转化成熟悉的代码，一下子就不懵了。记这个笔记就是为了后续复习，把零散知识点串起来，搞懂本质不硬背，后面可以再补复杂例子巩固。
总结
- 函数是核心，和编程函数逻辑一致，核心是“一个输入对应一个输出”，记牢定义域、对应法则、因变量三个核心；
- 极限是看趋势的工具，重点在“趋近”而非“等于”，解决了函数无定义但能判断趋势的问题；
- 连续是函数的性质，核心是“极限值=函数值”，需满足有定义、极限存在、极限值=函数值三个条件，还要分清可去、跳跃、无穷三种常见间断点。
评论 (0)