【数学笔记】常见距离计算：欧氏、曼哈顿、切比雪夫

简介

在数据分析、路径规划、机器学习这些场景里，经常要算两个点/向量之间的“距离”，欧氏、曼哈顿、切比雪夫是最基础也最常用的三种，我结合公式和Python代码把它们捋清楚，记下来方便后续用，尽量写得直白，重点在“能看懂、能复用”。

1. 欧氏距离（Euclidean Distance）

核心说明

欧式距离就是咱们最直观的“直线距离”，比如平面上两点间的直线长度，三维空间里两点间的直线长度，本质是勾股定理的延伸，也是最符合日常认知的距离计算方式。

公式

(1) 二维平面上两点 $a(x_1, y_1)$ 和 $b(x_2,y_2)$ 的直线距离：
$d(a,b) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

(2) 三维空间两点 $a(x_1,y_1,z_1)$、$b(x_2,y_2,z_2)$ 间的欧氏距离：
$d(a,b) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(3) 两个n维向量 $a(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n})$ 和 $b(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n})$ 间的欧氏距离：
$d(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_{2i} - x_{1i})^2}$

也可以表示成向量运算的形式：
$d(a,b) = \sqrt{(a - b)^T(a - b)}$

Python实现（支持n维向量）

import math

def euclidean_distance(a, b):
    """
    计算两个n维向量的欧氏距离
    :param a: 第一个向量（列表/元组，如[1,50.6]、[1,2,3]）
    :param b: 第二个向量（维度需和a一致）
    :return: 欧氏距离值
    """
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("两个向量的维度必须一致！")
    # 先算每个维度差值的平方和，再开平方
    squared_sum = sum((x - y)**2 for x, y in zip(a, b))
    return math.sqrt(squared_sum)

# 测试案例
# 二维案例（原示例）
test_a_2d = [1, 50.6]
test_b_2d = [1, 1]
print(f"二维欧氏距离：{euclidean_distance(test_a_2d, test_b_2d)}") # 输出49.6

# 三维案例
test_a_3d = [1, 2, 3]
test_b_3d = [4, 5, 6]
print(f"三维欧氏距离：{euclidean_distance(test_a_3d, test_b_3d)}") # 输出√(9+9+9)=√27≈5.196

2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

核心说明

曼哈顿距离也叫“城市街区距离”，不是直线距离，而是像在城市里走路一样，只能沿横竖方向走，算的是“横向+纵向”的总路程，比如从A点到B点，绕着街区走的总距离。

公式

(1) 二维平面两点 $a(x_1,y_1)$ 和 $b(x_2,y_2)$ 间的曼哈顿距离：
$d(a,b) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$

(2) 两个n维向量 $a(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n})$ 与 $b(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n})$ 间的曼哈顿距离：
$d(a,b) = \sum_{i=1}^n |x_{2i} - x_{1i}|$

Python实现（支持n维向量）

def manhattan_distance(a, b):
    """
    计算两个n维向量的曼哈顿距离
    :param a: 第一个向量（列表/元组）
    :param b: 第二个向量（维度需和a一致）
    :return: 曼哈顿距离值
    """
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("两个向量的维度必须一致！")
    # 累加每个维度差值的绝对值
    return sum(abs(x - y) for x, y in zip(a, b))

# 测试案例
# 二维案例（原示例）
print(f"二维曼哈顿距离：{manhattan_distance(test_a_2d, test_b_2d)}") # 输出0 + 49.6 = 49.6

# 三维案例
print(f"三维曼哈顿距离：{manhattan_distance(test_a_3d, test_b_3d)}") # 输出3+3+3=9

3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

核心说明

切比雪夫距离可以理解成“国王距离”——国际象棋里国王走一步能到相邻8个方格中的任意一个，从A点到B点，国王最少需要走的步数就是切比雪夫距离，本质是两个点各维度差值的绝对值中最大的那个。

公式

(1) 二维平面两点 $a(x_1,y_1)$ 和 $b(x_2,y_2)$ 间的切比雪夫距离：
$d(a,b) = \max(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|)$

(2) 两个n维向量 $a(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n})$ 和 $b(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n})$ 间的切比雪夫距离：
$d(a,b) = \max_{i=1}^n |x_{2i} - x_{1i}|$

Python实现（支持n维向量）

def chebyshev_distance(a, b):
    """
    计算两个n维向量的切比雪夫距离
    :param a: 第一个向量（列表/元组）
    :param b: 第二个向量（维度需和a一致）
    :return: 切比雪夫距离值
    """
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("两个向量的维度必须一致！")
    # 取每个维度差值绝对值的最大值
    return max(abs(x - y) for x, y in zip(a, b))

# 测试案例
# 二维案例（棋盘场景）
chess_a = (1, 1)
chess_b = (5, 4)
print(f"棋盘上国王从{chess_a}到{chess_b}的步数（切比雪夫距离）：{chebyshev_distance(chess_a, chess_b)}") # 差值x=4，y=3，最大值4，输出4

# 原示例二维测试
print(f"原示例切比雪夫距离：{chebyshev_distance(test_a_2d, test_b_2d)}") # 差值x=0，y=49.6，最大值49.6，输出49.6

# 三维案例
print(f"三维切比雪夫距离：{chebyshev_distance(test_a_3d, test_b_3d)}") # 差值都是3，最大值3，输出3

4. 三种距离的整合调用

整合代码

def calculate_distance(a, b, distance_type="euclidean"):
    """
    统一计算三种距离的封装函数
    :param a: 第一个向量
    :param b: 第二个向量
    :param distance_type: 距离类型，可选"euclidean"/"manhattan"/"chebyshev"
    :return: 对应类型的距离值
    """
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("两个向量维度必须一致！")
    
    if distance_type == "euclidean":
        return euclidean_distance(a, b)
    elif distance_type == "manhattan":
        return manhattan_distance(a, b)
    elif distance_type == "chebyshev":
        return chebyshev_distance(a, b)
    else:
        raise ValueError("距离类型仅支持euclidean/manhattan/chebyshev！")

# 批量测试
test_vec1 = [2, 5, 8]
test_vec2 = [6, 9, 12]
print(f"批量测试 - 欧氏距离：{calculate_distance(test_vec1, test_vec2, 'euclidean')}") # √(16+16+16)=√48≈6.928
print(f"批量测试 - 曼哈顿距离：{calculate_distance(test_vec1, test_vec2, 'manhattan')}") # 4+4+4=12
print(f"批量测试 - 切比雪夫距离：{calculate_distance(test_vec1, test_vec2, 'chebyshev')}") # 最大值4

闵可夫斯基距离（三种统一）

其实欧氏、曼哈顿、切比雪夫都是“闵可夫斯基距离”的特例，公式如下：
$d(a,b) = \left( \sum_{i=1}^n |x_{2i} - x_{1i}|^p \right)^{\frac{1}{p}}$

• 当 $p=1$ 时，就是曼哈顿距离；
• 当 $p=2$ 时，就是欧氏距离；
• 当 $p \to \infty$ 时，就是切比雪夫距离。

def minkowski_distance(a, b, p):
    """
    计算闵可夫斯基距离（p为参数，覆盖三种基础距离）
    :param a: 第一个向量
    :param b: 第二个向量
    :param p: 阶数（p=1→曼哈顿，p=2→欧氏，p越大越接近切比雪夫）
    :return: 闵可夫斯基距离值
    """
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("两个向量维度必须一致！")
    if p <= 0:
        raise ValueError("p必须大于0！")
    
    # p→∞时直接返回切比雪夫距离（简化版）
    if p == float("inf"):
        return chebyshev_distance(a, b)
    
    sum_pow = sum(abs(x - y)**p for x, y in zip(a, b))
    return sum_pow ** (1/p)

# 验证特例
print(f"p=1（曼哈顿）：{minkowski_distance(test_vec1, test_vec2, 1)}") # 12，和之前一致
print(f"p=2（欧氏）：{minkowski_distance(test_vec1, test_vec2, 2)}") # ≈6.928，和之前一致
print(f"p=∞（切比雪夫）：{minkowski_distance(test_vec1, test_vec2, float('inf'))}") # 4，和之前一致

5. 三种应用场景

总结

1. 欧氏、曼哈顿、切比雪夫是最基础的距离计算方式，核心区别在于“维度差值的处理方式”（平方和开方/绝对值和/绝对值最大值）；
2. 三种距离都能扩展到n维向量，代码实现时要注意“维度一致”的校验，避免报错；
3. 闵可夫斯基距离是三者的统一形式，通过调整参数p可以切换不同距离类型，方便灵活调用；
4. 实际使用时要根据场景选：要直线距离选欧氏，要路径总长度选曼哈顿，要“最少步数”选切比雪夫。